http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1712

问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：

f[k][v]=max{

f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}

 

使用一维数组的伪代码如下：

for所有的组k

for v=V..0

for所有的i属于组k

f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

注意这里的三层循环的顺序，甚至在本文的第一个beta版中我自己都写错了。“forv=V..0”这一层循环必须在“for所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。

另外，显然可以对每组内的物品应用（完全背包问题）中“一个简单有效的优化”。

小结

分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如（有依赖的背包问题）），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

 

 

1712题目大意：

一个学生用M天的时间复习N门课程，每门课程花费不同的天数，有不同的收获。问如何安排这M天，使得收获最大。

解题思路：

分组背包即物品分为多组，每一组的各个物品最多只能取一个。解题方法即在循环最里面再嵌套一个循环，查找每组中价值最大的物品。

代码部分：

1 #include 
     
       2 #include 
      
        3 #include 
       
         4 #include 
        
          5 #include 
         
           6 #include 
          
            7 using namespace std; 8 #define N 110 9 int a[N][N];10 int dp[N];11 int main()12 {13 int i,j,n,m,k;14 while(~scanf("%d%d",&n,&m)){15 if(n==0&&m==0)16 break;17 for(i=1;i<=n;i++)18 for(j=1;j<=m;j++)19 scanf("%d",&a[i][j]);20 memset(dp,0,sizeof(dp));21 for(i=1;i<=n;i++) //根据不同课程分组22 for(k=m;k>0;k--) //枚举不同容量23 for(j=1;j<=k;j++) //不同时间的课程24 dp[k]=max(dp[k],dp[k-j]+a[i][j]);25 printf("%d\n",dp[m]);26 }27 return 0;28 }